二维静态问题

我们将移动网格方法应用到变分不等式问题和最优控制问题。由于我们发展的移动网格方法 将网格移动和问题求解完全分开，可以应用于静态问题，从而可能应用于变分不等式和最优 控制问题。变分不等式和最优控制 问题的误差出现的区域和解的梯度基本上没有什么关系，所以我们要使用后验误差估计来 构造控制函数。计算结果表明，对于静态问题，移动网格方法也可以得到预期的结果。但是， 并不是所有的后验误差估计都能够用来构造控制函数，获得满意的网格。后验误差估计必须 足够准确，才能够对于网格的构造有有效的指导意义。

二维的变分不等式 2D Variational Inequalities

变分不等式的问题是很多研究者感兴趣的问题，但是我们只是需要它的一个足够精确的后验误差 估计。变分不等式的一个最简单的例子是障碍问题。 这个问题形式虽然简单，但是迄今仍然有一些没有研究清楚的部分。对于给定的一个 $H^1_0(\Omega)$中的闭凸子集$K$，若$f \in L^2(\Omega)$，则变分不等式

\[ a(u, v-u) \ge (f, v-u), \forall v \in K \]

其中$a(u,v)=\displaystyle\int_\Omega (A \nabla u, \nabla v) dx$，$A$是$n \times n$对称正定的矩阵 函数，其元素$a_{ij} \in L^\infty (\Omega)$，$n \le 3$是区域的维数，在$K$中存在唯一解。 我们给出的误差估计形为

\[ \begin{array}{rcl} \hat{\eta}_1^2 &=& \sum_\tau h^2_\tau \int_\tau (f + div(A \nabla u_h))^2, \\ \eta_2^2 &=& \sum_{l \cap \partial \Omega} h_l \int_l [(A \nabla u_h) \cdot {\mathbf n}]^2, \\ \eta_3^2 &=& \int_{\partial \Omega} |(A \nabla u_h) \cdot {\mathbf n}| |g - \pi_h g |, \end{array} \]

其中，$ \pi_h $是Lagrange插值算子，$ [(A \nabla u_h) \cdot {\mathbf n}] $表示$A$-法向导数 在两个单元边界上的跳跃

\[ [(A \nabla u_h) \cdot {\mathbf n}]:=((A \nabla u_h )|_{\tau^1_l} - (A \nabla u_h)|_{\tau^2_l}) \cdot {\mathbf n}, l = \tau^1_l \cup \tau^2_l. \]

其中，${\mathbf n}$是$\tau^1_l$的单位外法向量。

我们这里选择的变分不等式的例子都是从不同的文献中间挑选的，有一定的代表性。

变分不等式例 1

区域$\Omega = [-1.5, 1.5] \times [-1.5, 1.5]$，$f = -2$，零障碍，精确解 为

\[ u = \left\{ \begin{array}{ll} {\displaystyle\frac {r^2} 2} - ln(r) + ln(1) - \frac{1}{2}, &{\mathrm if\ } r > 1, \\ 0,&{\mathrm if\ } r \le 1, \\ \end{array}\right. \]

其中，$r = {\sqrt {x^2 + y^2}}$，自由边界是$r = 1$。下面是计算结果的 图形：


Example 1: From Liu and Yan's paper.

变分不等式例 2

这个例子来自于Kornhuber的研究，是一个障碍不为零的例子。区域为$\Omega = [-1, 1] \times [-1, 1]$， $f = 1$，$K = \{ u \in H^1_0(\Omega)| u \le \phi\}, \phi(x) = dist( x, \partial \Omega)$。对于非零的障碍，我们要把特征函数$\chi^h_{u_h}$的表达式修改为

\[ \chi^h_{u_h} = {\displaystyle\frac {h^\alpha} {u_h - \phi_h + h^\alpha}}. \]

下面是计算结果的图形

变分不等式例 3

这个例子的背景是不可压无粘流体渗透一个方形水坝的模型，Ainsworth，Oden和 Lee都对它进行了研究，并作出了一个后验误差估计，$\phi = 0$，$f = -1$，

\[ u|_{\partial \Omega} = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{1}{2} h_1^2 - q x, & 0 \leq x \leq l, y = 0, \\ \frac{1}{2}(h_1 - y)_+^2, & x = l, 0 < y \leq h_1, \\ \frac{1}{2} (h_2 - y)_+^2, & x = 0, 0 < y \leq h_1, \\ 0, & 0 < x < l, y = h_1, \end{array} \right. \]

其中$ h_1 = 10 $， $ h_2 = 2 $， $ l = 5 $， $ q = (h_1^2 - h_2^2) / (2 l) $，

\[ (h - y)_+ = \left\{ \begin{array} {ll} h - y, & {\mathrm{if\ }} h \geq y, \\ 0, & {\mathrm{otherwise}} \end{array} \right. \]

计算结果如下图

最优控制问题 (Optimal Contorl Problem)

我们将考虑具有障碍约束的线性椭圆型分布式最优控制问题。前面所 讨论的障碍问题事实上是这个问题的一个子问题。众所周知，在这种情况下，障碍集中的部分对解 是较少有贡献的，现有的误差估计尚未考虑到这个重要的现象，从而使得估计不够精确，根据 这样的估计所构造的自适应方法的效率也因此受到很大的影响。但是，在障碍集中的解仍然对解有 一定的影响，根据Chen和Nochetto的观点，要想完全的将其对误差估计影响消除似乎是不可能的。 我们要将这种影响尽可能的消除，从而得到一个既是上界，也是下界的一个误差估计，然后应用 这样一个比较准确的误差估计来构造网格，希望在得到的网格能够有效求解原问题。这个问题具有 如下的形式

\[ \begin{array}{cl} \min_{u \in K} & \left\{ g(y) + h(u) \right\} \\ \mathrm{s.t.} & - div(A \nabla y) = B u + f, \mathrm {in\ }\Omega, y|_{\partial \Omega} = y_b \end{array}, \]

其中，$g$和$h$是凸泛函，$K$是一个闭凸集，$B$是连续线性算子。控制 $u$定义在区域$\Omega_U$上，状态$y$定义在区域$\Omega$上，它们的边 界$\partial \Omega_U$和$\partial \Omega$都是Lipschitz的，$\Omega_U$和 $\Omega$在${\mathbf R}^n$中，$n \le 3$。我们用$| \cdot |_{m,q,\Omega}$ 和$| \cdot |_{m,\Omega} $表示$ W^{m,q}(\Omega) $和$ H^m(\Omega) $中的半 范数，将状态空间取为$ Y = H^1_0(\Omega) $，控制空间取为$ U = L^2(\Omega_U) $。 假设$ g $和$ h $是在$ U $和$ L^2(\Omega) $连续可微的严格凸泛函，$ K $是 $ U $中的凸子集，$ f \in L^2(\Omega) $，$ B $是从$ U $到$ L^2(\Omega) \subset Y'$（$ Y $的对偶空间）的连续线性算子，

\[ A(\cdot) = (a_{i,j}(\cdot))_{n \times n} \in \left( L^\infty (\Omega) \right)^{n \times n} \]

满足对任意向量$\xi \in {\mathbf R}^n$，存在常数$c > 0$，使得

\[ (A \xi) \cdot \xi \ge c | \xi |^2. \]

我们还假设当 $ \| u \|_{0, \Omega_U} \rightarrow \infty$，有$ h(u) \rightarrow + \infty$，泛函$g$有下界。

最优控制问题例 1

精确解为

\[ \begin{array}{rcl} u &=& \max\Big(4 \pi^2 (\sin(2 \pi x_1) + \sin(2 \pi x_2)), 0\Big),\\ y &=& \sin(2 \pi x_1) + \sin(2 \pi x_2),\\ p &=& 0,\\ \end{array} \]

其他数据为

\[ \begin{array}{rcl} y_0 & =& \sin(2 \pi x_1) + \sin(2 \pi x_2), \\ u_0 & = & \max\Big(4 \pi^2 (\sin(2 \pi x_1) + \sin(2 \pi x_2)), 0\Big), \\ f & = & \min\Big(4 \pi^2 (\sin(2 \pi x_1) + \sin(2 \pi x_2)), 0\Big), \end{array} \]

我们可以看到，误差分布的形状和误差估计的形状的吻合程度很高，验证了误差估计的准确 性。在网格移动了以后，误差估计的分布得到了平均化。分片线性相比于分片常数解来说， 网格更加集中于自由边界的位置。我们列出了在每一个网格迭代步骤以后的解的计算误差， 作为参考。

\[ \begin{tabular}{||r||c|c|c||}\hline\hline iter. No & $\| u - u_h \|_{L^2(\Omega)}$ & $\| y - y_h \|_{L^2(\Omega)}$ & $\| p - p_h \|_{L^2(\Omega)}$ \\ \hline\hline 0 & 0.125873 & 0.002550 & 0.001192 \\ \hline 1 & 0.091728 & 0.001691 & 0.001387 \\ \hline 2 & 0.077295 & 0.001450 & 0.001186 \\ \hline 4 & 0.061933 & 0.001659 & 0.001301 \\ \hline 8 & 0.044747 & 0.003016 & 0.002066 \\ \hline 11 & 0.037995 & 0.004515 & 0.002478 \\ \hline\hline \end{tabular} \]

最优控制问题例 2

精确解为

\[ \begin{array}{rcl} u &=& \max\Big(u_{0}-p,0\Big),\\ y &=& 2\pi ^{2}p,\\ p &=& \sin\pi x_1 \sin\pi x_2,\\ \end{array} \]

其他数据为

\[ \begin{array}{rcl} y_0 & =& 0, \\ u_0 & = & 1-\sin{\displaystyle\frac {\pi x_1}2}-\sin{\displaystyle\frac {\pi x_2}2}, \\ f & = & 4\pi ^{4}p-u, \end{array} \]

由于在非障碍集的内部，误差只占总体误差的一小部分，所以在网格移动以后，误差减小的比例 相当的大，对于前一个例子，由于非障碍集内部的误差占了总误差的相当大一部分，所以在网格 移动以后，误差减小的幅度并不象这个例子这么明显。

\[ \begin{tabular}{||r||c|c|c||}\hline\hline iter. No & $\| u - u_h \|_{L^2(\Omega)}$ & $\| y - y_h \|_{L^2(\Omega)}$ & $\| p - p_h \|_{L^2(\Omega)}$ \\ \hline\hline 0 & 0.001625& 0.004860& 0.000283 \\ \hline 1 & 0.000727& 0.005089& 0.000274 \\ \hline 2 & 0.000448& 0.005333& 0.000280 \\ \hline 4 & 0.000204& 0.005819& 0.000300 \\ \hline 8 & 0.000111& 0.006487& 0.000329 \\ \hline 12 & 0.000082& 0.006967& 0.000353 \\ \hline\hline \end{tabular} \]

ocp_mesh62.png
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