![\[ \frac{\partial U}{\partial t} - y\frac{\partial U}{\partial x} + x\frac {\partial U}{\partial y} = 0 \]](form_270.png)
其中初值为
![\[ U(x,y;t) = \left\{\begin{array}{ll} e^{32 ((x-1/2)^2 + y^2)},&\mathrm{if\ } (x-1/2)^2 + y^2 < 1/4; \\ e^{32 ((x+1/2)^2 + y^2)},&\mathrm{if\ } (x+1/2)^2 + y^2 < 1/4; \\ 0, & \mathrm{otherwise}. \end{array}\right. \]](form_271.png)
下面是得到的网格和曲面的图形。
![\[ u_t + u u_x + u u_y = a \Delta u \]](form_272.png)
![\[ u(x,y;t) = \left( 1 + exp((x+y-t)/(2a)) \right)^{-1} \]](form_273.png)
其中
，这个问题的解在
的位置会产生一个陡峭的波面，陡峭 的程度由参数
的大小确定，越小，波面将会越陡峭。下面是计算得到网格 和曲面的图形
![\[ \begin{array} {rcl} -\Delta \psi &=& Ra \left( {T_ x} + N {C_ x} \right), \\ {T_ t} + {\displaystyle\frac{\partial(T, \psi)} {\partial(x, y)}} &=& \Delta T, \\ {\frac \phi \sigma}{C_t} + {\displaystyle\frac{\partial(C, \psi)} {\partial(x, y)}} &=& {\frac {1} {Le}} \Delta C \end{array} \]](form_277.png)
其中，
是流体的流函数，
是温度，
是物质成分的比重， 
是Darcy-Rayleigh常数(Dracy-modified Rayleigh number)，
是 两种物质浮力比，
是Lewis数(Lewis number)，
是渗透率， 
是两种物质的热容比，
![\[ {\frac {\partial(f,g)} {\partial(x,y)}} := {\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial y}} - {\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial x}}. \]](form_285.png)
初值条件为
![\[ T|_{t=0}=C|_{t=0}=\left\{ \begin{array}{c} 1, x \leq \frac{1}{2},\\ 0, x> \frac{1}{2},\end{array} \right. \]](form_286.png)
边值条件为
![\[ \psi|_{\partial \Omega} = 0, \left.{\frac{\partial T}{\partial n}}\right|_{\partial \Omega} = 0, \left.{\frac{\partial C}{\partial n}}\right|_{\partial \Omega} = 0. \]](form_287.png)
在这个问题中，两种流体在开始水平方向上的压力有一些差别，这个差别导致 左边高温的流体在上部流向右边，右边的低温流体在下部流向左边。在两种流 体的交界面上，存在一个温度和成分比重的狭窄的过渡带，方程中的扩散项会 将这个过渡带逐渐抹平。但如果足够小，这个狭窄的过渡带将会一直 保持相当狭窄的状态，直到高温流体完全到达低温流体的上方，然后两种流体 缓慢的扩散达到均匀状态。这个问题的困难就在于如何准确的计算这个过渡带。 我们选择的是比较大的Darcy-Reyleigh数
。其他的参数为
， 
，
。我们选择的逻辑区域是一个六边形， 整个区域被剖分成为1784个三角形单元。控制函数为
。可以看到，我们的网格的加密带成功的跟随这个过渡 带，比较好的描述了流体的运动。
![\[ \begin{array}{rcl} {u_t} - \Delta u &=& - {\displaystyle\frac R {\alpha \delta}} u e^{\delta (1 - 1/T)}, \\ {T_t} - {\displaystyle\frac 1 {Le}} \Delta T &=& {\displaystyle\frac R {\delta Le}} u e^{\delta (1 - 1/T)} \end{array} \]](form_293.png)
初边值条件为
![\[ \begin{array}{rcccl} u|_{t=0} &=& T|_{t=0} &=& 1, \\ u|_{\partial \Omega} &=& T|_{\partial \Omega} &=& 1 \end{array} \]](form_294.png)
其中，
表示化学成分的比重，表示温度。其他的参数分别为 
，
，
，
。 我们将这个问题分别在正方形区域和一个
形的区域中计算，这两个 区域都是其他作者考虑过的问题，下面的图形是在形区域上计算得 到的结果：
1.4.7