![\[ \begin{array}{rl} \min & g(y) + h(u) \\ \mathrm{s.t.} & \left\{\begin{array}{rcl} -\Delta y &=& Bu + f, \mathrm{in\ }\Omega \\ y|_\Gamma &=& y_b\\ u \geq 0 \end{array}\right. \end{array} \]](form_323.png)
Optimal control problem is considered as soon as we can solve a partial differential equation to simulate certain practical problem. Simulation helps us understand the practical problem itself while control is the our last object to study the problem. My research concentrates on discretization of model optimal control problem, development of the posteriori error estimator and designment of efficient solver for discrete optimal control problem.
合作者：
其中
![\[ \begin{array}{rcl} g(y) &=& \displaystyle\int_\Omega (y-y_0)^2 dx \\ h(u) &=& \displaystyle\int_\Omega (u-u_0)^2 dx \end{array} \]](form_324.png)
在这些变量中
叫做控制量，
叫做状态量。这个问题和它的 最优性条件
![\[ \begin{array}{rcll} -\Delta y &=& Bu + f, & y|_\Gamma = y_b\\ -\Delta p &=& g^\prime(y), & p|_\Gamma = 0 \\ (h^\prime(u) + B^\star p, v-u)&\geq& 0,& \forall v \geq 0 \end{array} \]](form_325.png)
等价。其中
叫做对偶状态量。明显的可以看出 这几个量具有非常不同的正则性，而且控制量和状态量的奇性还常常在区域 的不同位置上，因此我们设计分别使用不同网格上的不同有限元空间来逼近 这几个不同的量，并且同时使用自适应算法来求解以求抓住解的奇性。对于 这样的离散方案我们得到了精准后验误差估计主项为
![\[ \begin{array}{c} \eta_1^2 = \displaystyle\int_{\Omega_0^-} | h^\prime(u) + B^\star p |^2 dx \\ \eta_2^2 = \displaystyle\sum_\tau \displaystyle\int_\tau h_\tau^2 (\mathrm{div} \nabla p + g^\prime (y))^2 dx + \displaystyle\sum_{l\bigcap\Gamma=\emptyset} \displaystyle\int_l h_l [\nabla p \cdot \mathbf{n}]^2 dl \\ \eta_3^2 = \displaystyle\sum_\tau \displaystyle\int_\tau h_\tau^2 (f + Bu + \mathrm{div} \nabla y)^2 dx +\displaystyle\sum_{l\bigcap\Gamma=\emptyset} \displaystyle\int_l h_l [\nabla y \cdot \mathbf{n}]^2 dl \end{array} \]](form_327.png)
当控制量和状态量、对偶状态量位于不同的有限元空间中时，算法的实现 是一个关键性的难题，我们设计的有限元包>AFEPack中提供的多套网格上操作的功能，最初设计的动机就是为了 能够解决这个问题。
除了上面给出的残量型的后验误差估计，我们还给出了这个问题的 Recovery 型的 后验误差估计，并能证明这个问题的解具有超收敛的性质。对于 Recovery 型的后验 误差估计，我们利用它得到的网格和上面残量型后验误差估计得到的网格基本一致， 并且， Recovery 型的后验误差估计和真实的误差在量上都吻合得非常好，是非常 让人满意的现象。
下面是几个算例：
这个算例的精确解为
![\[ \begin{array}{rcl} z &=& \left\{\begin{array}{ll} 0.5, & x_1 + x_2 > 1.0 \\ 0.0, & x_1 + x_2 \leq 1.0 \end{array}\right. \\ p &=& \sin \pi x_1 \sin \pi x_2 \\ u_0 &=& 1.0 - \sin {\frac {\pi x_1} 2} - \sin {\frac {\pi x_2} 2} + z \\ u &=& \max(u_0 - p, 0) \\ y_0 &=& 100 \sqrt{(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2} \\ f &=& 4 \pi^4 p - u - 10000/y_0 \\ y &=& 2 \pi^2 p + y_0 \end{array} \]](form_328.png)
计算的得到的一些数据为
![\[ \begin{tabular}{|c|l||c|c|c||c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{} & \multicolumn{3}{c||}{$y, p$ piecewise linear} & \multicolumn{3}{c|}{$y, p$ piecewise quadratic} \\ \cline{3-8} \multicolumn{2}{|c||}{\raisebox{1.5ex}[0pt]{Item}} & $u$ & $y$ & $p$ & $u$ & $y$ & $p$ \\ \hline & \# nodes & 755 & 972 & 972 & 743 & 245 & 245 \\ \cline{2-8} mesh & \# sides & 1935 & 2725 & 2725 & 1905 & 648 & 648 \\ \cline{2-8} info & \# elements & 1181 & 1754 & 1754 & 1163 & 404 & 404 \\ \cline{2-8} & \# dofs & 3543 & 972 & 972 & 3489 & 921 & 921 \\ \hline \multicolumn{2}{|c||}{$L^2$ error} & 4.88824e-3 & 2.03878e-2 & 1.64006e-3 & 4.88893e-3 & 1.99436e-3 & 1.11350e-4 \\ \hline \end{tabular} \]](form_329.png)
下面是得到的网格的图形
and , color is the value of 下面是使用 Recovery 型误差估计得到的估计误差和真实误差在连续得到的 自适应网格上的关系：
![\[ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline adaptive step & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \# nodes($u$) & 145 & 204 & 398 & 519 & 721 \\ \hline \# nodes($y$,$p$) & 145 & 537 & 804 & 804 & 804 \\ \hline $||u-u_h||_{L^2}$ & 2.08452e-02 & 1.32012e-02 & 9.07738e-03 & 6.65461e-03 & 5.09988e-03 \\ \hline $|y-y_h|_{H^1}$ & 4.67225e+00 & 2.34528e+00 & 2.07212e+00 & 2.07212e+00 & 2.07212e+00 \\ \hline $|p-p_h|_{H^1}$ & 2.38026e-01 & 1.18983e-01 & 1.05092e-01 & 1.05092e-01 & 1.05092e-01 \\ \hline $||R_hu_h-u_h||_{L^2}$ & 1.79538e-02 & 1.23715e-02 & 8.81438e-03 & 6.11814e-03 & 4.62809e-03 \\ \hline $||G_hy_h-\nabla y_h||_{L^2}$ & 4.89647e+00 & 2.38738e+00 & 2.09266e+00 & 2.09266e+00 & 2.09266e+00 \\ \hline $||G_hp_h-\nabla p_h||_{L^2}$ & 2.45173e-01 & 1.20586e-01 & 1.05759e-01 & 1.05759e-01 & 1.05759e-01 \\ \hline \end{tabular} \]](form_330.png)
其中各个算子的意义请参考我们的文章。
这个例子的约束方程是一个弱的非线性约束，形为
![\[ \begin{array}{rl} \min & g(y) + h(u) \\ \mathrm{s.t.} & \left\{\begin{array}{rcl} -\Delta y + y^3 &=& Bu + f, \mathrm{in\ }\Omega \\ y|_\Gamma &=& y_b\\ u \geq 0 \end{array}\right. \end{array} \]](form_331.png)
这时候对偶方程成为形式
![\[ -\Delta p + 3 y^2 p = g^\prime(y) \]](form_332.png)
我们的算例使用的精确解为
![\[ \begin{array}{rcl} y_0 &=& \sin 2 \pi x_1 + \sin 2 \pi x_2 \\ y &=& y_0 \\ u_0 &=& \max(4 \pi^2 y_0, 0) \\ u &=& u_0 \\ f &=& 4 \pi^2 y_0 + y_0^3 - u \\ p &=& 0 \\ \end{array} \]](form_333.png)
计算得到的数据为
![\[ \begin{tabular}{|c|l||c|c|c||c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{} & \multicolumn{3}{c||}{$y, p$ piecewise linear} & \multicolumn{3}{c|}{$y, p$ piecewise quadratic} \\ \cline{3-8} \multicolumn{2}{|c||}{\raisebox{1.5ex}[0pt]{Item}} & $u$ & $y$ & $p$ & $u$ & $y$ & $p$ \\ \hline & \# nodes & 4473 & 341 & 341 & 4486 & 132 & 132 \\ \cline{2-8} mesh & \# sides & 13006 & 933 & 933 & 13046 & 340 & 340 \\ \cline{2-8} info & \# elements & 8534 & 593 & 593 & 8561 & 209 & 209 \\ \cline{2-8} & \# dofs & 25602 & 341 & 341 & 25683 & 497 & 497 \\ \hline \multicolumn{2}{|c||}{$L^2$ error} & 3.55341e-2 & 1.78840e-2 & 1.98911e-4 & 3.55327e-2 & 3.38543e-3 & 2.02014e-5 \\ \hline \end{tabular} \]](form_334.png)
and , color is the value of 下面是这个例子使用 Recovery 型误差估计得到的估计误差和真实误差在连续得到的 自适应网格上的关系：
![\[ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline adaptive step & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \# nodes($u$) & 145 & 384 & 1288 & 2710 & 4290 \\ \hline \# nodes($y$,$p$) & 145 & 174 & 174 & 174 & 174 \\ \hline $||u-u_h||_{L^2}$ & 8.13922e-01 & 2.70932e-01 & 9.71366e-02 & 4.01130e-02 & 2.27846e-02 \\ \hline $|y-y_h|_{H^1}$ & 9.91391e-01 & 9.12057e-01 & 9.12057e-01 & 9.12057e-01 & 9.12057e-01 \\ \hline $|p-p_h|_{H^1}$ & 2.58517e-03 & 2.22193e-03 & 2.22193e-03 & 2.22193e-03 & 2.22193e-03 \\ \hline $||R_hu_h-u_h||_{L^2}$ & 6.95352e-01 & 2.24280e-01 & 8.20353e-02 & 3.09396e-02 & 1.26466e-02 \\ \hline $||G_hy_h-\nabla y_h||_{L^2}$ & 1.03237e+00 & 9.49570e-01 & 9.49570e-01 & 9.49570e-01 & 9.49570e-01 \\ \hline $||G_hp_h-\nabla p_h||_{L^2}$ & 5.20497e-04 & 4.48978e-04 & 4.48978e-04 & 4.48978e-04 & 4.48978e-04 \\ \hline \end{tabular} \]](form_335.png)
算例的精确解的数据为
![\[ \begin{array}{rcl} z &=& \left\{\begin{array}{ll} 0.4, & x_1 + x_2 + x_3 > 1.0 \\ 0.0, & x_1 + x_2 + x_3 \leq 1.0 \end{array}\right. \\ p &=& \sin \pi x_1 \sin \pi x_2 \sin \pi x_3 \\ u_0 &=& 1.0 - \sin {\frac {\pi x_1} 2} - \sin {\frac {\pi x_2} 2} - \sin {\frac {\pi x_3} 2} + z \\ u &=& \max(u_0 - p, 0) \\ y_0 &=& 0 \\ f &=& 9 \pi^4 p - u0\\ y &=& 3 \pi^2 p + y_0 \end{array} \]](form_336.png)
计算得到的一些数据为
![\[ \begin{tabular}{|c|l||c|c||c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{} & \multicolumn{2}{c||}{On uniform mesh} & \multicolumn{3}{c|}{On adaptive mesh} \\ \cline{3-7} \multicolumn{2}{|c||}{} & Mesh No 1 & Mesh No 2 & Mesh No 1 & Mesh No 2 & Mesh No 3 \\ \hline & \# nodes & 17389 & 132489 & 2315 & 8940 & 31128 \\ \cline{2-7} $u$ & \# edges & 115100 & 900936 & 13080 & 51737 & 182319 \\ \cline{2-7} mesh & \# faces & 192112 & 1523648 & 20083 & 80451 & 285704 \\ \cline{2-7} info & \# elements & 94400 & 755200 & 9317 & 37653 & 134512 \\ \cline{2-7} & \# dofs & 377600 & 3020800 & 37268 & 150612 & 538048 \\ \hline & \# nodes & 17389 & 132489 & 9408 & 12449 & 12724 \\ \cline{2-7} $y,p$& \# edges & 115100 & 900936 & 58351 & 81512 & 83811 \\ \cline{2-7} mesh & \# faces & 192112 & 1523648 & 94150 & 135284 & 139569 \\ \cline{2-7} info & \# elements & 94400 & 755200 & 45206 & 66220 & 68481 \\ \cline{2-7} & \# dofs & 17389 & 132489 & 9408 & 12449 & 12724 \\ \hline & \multicolumn{1}{|c||}{$u$} & 3.15799e-3 & 2.12281e-3 & 2.29716e-3 & 1.87182e-3 & 1.32444e-3 \\ \cline{2-7} $L^2$ error & \multicolumn{1}{|c||}{$y$} & 4.83516e-2 & 1.19974e-2 & 1.28058e-1 & 8.04137e-2 & 7.81510e-2 \\ \cline{2-7} & \multicolumn{1}{|c||}{$p$} & 3.09591e-3 & 7.67661e-4 & 7.77780e-3 & 4.94263e-3 & 4.82434e-3 \\ \hline \end{tabular} \]](form_337.png)
and , color is the value of
![\[ \begin{array}{rl} \min & \displaystyle\int_0^T g(y) + h(u) dt \\ \mathrm{s.t.} & \left\{\begin{array}{rcl} y_t-\Delta y &=& Bu + f, \mathrm{in\ }\Omega \\ y|_\Gamma &=& y_b\\ y|_{t=0} &=& y(0)\\ u \geq 0 \end{array}\right. \end{array} \]](form_338.png)
这个问题也有相对应的最优性条件
![\[ \begin{array}{rcl} y_t-\Delta y &=& Bu + f \\ -p_t-\Delta p &=& g^\prime(y) \\ (h^\prime(u) + B^\star p, v-u) &\geq & 0, \forall v\geq 0 \end{array} \]](form_339.png)
这个问题的一个典型的特点在于，对偶方程是一个时间的反方向上的抛物 型方程。我们现在对于约束方程和对偶方程在时间方向上使用了分层的 离散格式，向前Euler和向后Euler对于这个问题来说是没有分别的。我们 最新的观点是：这个问题应该空时两个方向同时对等离散，才可能达到 最佳效果。我们通常关于控制问题的一个共识性观点是，如果能够将模拟 问题做好，就为控制问题做好提供了基础。根据我们的新观点，对于模拟 问题设计的好方法，在控制问题可能完全没有用处。
对于时间方向上的间断Galerkin离散和时空方向对等离散，我们都得到了 后验误差估计，这些估计的形式是非常复杂的，文章将在最近投稿。
我对这个问题的研究得到了国家自然科学基金的支持。
![\[ \begin{array}{rl} \min & \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_\Omega (y-y_0)^2 dx + \displaystyle\frac{\epsilon}{2}\displaystyle\int_\Omega u^2 dx \\ \mathrm{s.t.} & \left\{\begin{array}{l} -\Delta y + u y = f, \qquad\mathrm{in\ }\Omega\\ y|_\Gamma = y_b\\ u \geq \delta \end{array}\right. \end{array} \]](form_340.png)
其中
是一个负数，这个数依赖于Poincare不等式中的系数。 这个问题的一阶最优性条件为
![\[ \begin{array}{rcl} -\Delta y + u y &=& f \\ -\Delta p + u p &=& y-y_0 \\ (\epsilon u - yp, v-u) &\geq & 0,\forall v \geq \delta \end{array} \]](form_342.png)
对于这个问题的普通有限元离散，我们也已经得到了后验误差估计。这个 问题和前面的控制问题的一个最大不同之处在于：当
很 小的时候，求解算法的设计比较困难。只有给出了非常有效的求解算法， 我们才能够在很短的时间内得到比较好的数值结果。
1.4.7